Sprawa pierwsza. Dzięki wooli za pomiary.
Dzięki nim udało mi się zrobić obliczyć parametry Twojej nagrzewnicy. Po pierwsze byłem bardzo ciekawy jaką moc osiągnie taka nagrzewnica w zależności od temperatury przepływającej przezeń wody. Ponadto byłem ciekawy charakterystyki tejże mocy.
W sąsiednim wątku toczy się dyskusja gdzie forumowicze przekonują się wzajemnie, że matematyka to może i owszem, ale w zasadzie to po co? Przecież „intuicja” i „przeczucie” są najlepsze. Trochę na przekór postanowiłem zatem pokazać, że matematyka jest piękna choć zdaję sobie sprawę, że i tak nie każdy to piękno doceni.
I tu mała dygresja. To nie jest tak, że są to wzory dla wzorów w rozumieniu sztuka dla sztuki. Nic bardziej błędnego. Pełny komplet stanowią dane empiryczne oraz teoria, która opisuje te właśnie dane empiryczne językiem matematyki. Czyli pełnię stanowi zawsze teoria oraz empiria. Teoria bez empirii to nic innego jak filozofia - czyli bezwartościowe bajania. Z kolei empiria bez teorii to tylko jakieś dane, z którymi w zasadzie nie wiadomo co można dalej zrobić.
W sposób przeze mnie opisany działa cała nauka. Poprzez zbieranie danych empirycznych oraz tworzenie na ich podstawie testowalnych modeli matematycznych. Co istotne. Modeli, dzięki którym można czynić przewidywania.
A teraz do rzeczy. Na początek tabela z danymi. Stałe fizyczne oraz parametry urządzeń. Oczywiście wszystko w jednostkach układu SI. Zrobiłem założenie, że na odcinku w którym przebiegał pomiar wydajność wentylatora spadła o 5%. To jest najsłabszy punkt obliczeń, bo nie mając jak zmierzyć tej wartości po prostu musiałem sobie jakość wartość przyjąć, bo spadnie ona na pewno - wszak rura stawia opór. Ponieważ jednak rury nie były długie, a wentylator ma dobry stopień sprężania uznałem, że spadek ten będzie dość niewielki.
Nagrzewnica ogrzewając powietrze wykonuje pracę. Będzie ona miała wartość:
Q = m
powietrza · C
p powietrza · ΔT
powietrzaCiepło właściwe powietrza (C
p) jest stałą fizyczną. Różnicę temperatury (ΔT) obliczamy odejmując od wartości temperatury za nagrzewnicą wartość temperatury przed nagrzewnicą (od wylotowej - wlotową).
Masa powietrza jest równa iloczynowi jego gęstości i objętości:
m = ρ · V
Objętość powietrza będzie równa iloczynowi wydajności wentylatora (u) oraz czasowi jego pracy (t):
V = u · t
po uwzględnieniu spadku wydajności (s), który dla wygody podany jest w procentach otrzymujemy, że:
V = (u - u · s/100) · t
podstawiając kolejno mamy:
m = ρ · (u - u · s/100) · t
Q = ρ · (u - u · s/100) · t · C
p · ΔT
Pamiętając, że moc (P) wyraża się wzorem:
P = Q / t
po podstawieniu i uproszczeniu otrzymujemy finalnie:
P = ρ · (u - u · s/100) · C
p · ΔT
Teraz wystarczy podstawić i obliczyć moc.
Poniższa tabela zawiera gotowe wyniki obliczeń.
Teraz znając już moc nagrzewnicy wzór:
P = ρ · (u - u · s/100) · C
p · (T
2 - T
1)
przekształcamy ze względu na T
2. Przecież chcemy wiedzieć jaka będzie temperatura za nagrzewnicą - nasz model ma robić przewidywania. Po przekształceniu otrzymujemy:
T
2 = P / (ρ · (u - u · s/100) · C
p) + T
1Przy czym moc (P) jest tu funkcją.
Zrobiłem dwa modele nagrzewnicy:
model 1 - dokładniejszy, ale za to działający na węższym zakresie. Ten model przyjmuje temperaturę powietrza przed nagrzewnicą na poziomie 21-24 C. Nie wiem czy będzie on słuszny dla temperatur spoza tego zakresu. Dodatkowo model zakłada, że t
wody >> t
powietrza przed nagrzewnicą. W tym modelu moc (P) jest jedynie funkcją temperatury wody w kotle,
model 2 - mniej dokładny, ale działający na szerszym zakresie dzięki zastosowaniu pewnej sztuczki matematycznej. Nic nie stoi na przeszkodzie by np. policzyć temperaturę za nagrzewnicą dla temperatury powietrza przed nagrzewnicą równą np. 5 C i temperatury wody np. 80 C. Na tym model nr 1 się wyłoży. W modelu nr 2 moc (P) jest funkcją temperatury wody w kotle oraz temperatury powietrza przed nagrzewnicą. Precyzyjniej rzecz ujmując jest funkcją różnicy tych dwóch wartości.
Wyznaczone równania empiryczne mają postać:
model 1: P = 227.939 · e
0.0260678·twodymodel 2: P = 15,304 · (t
wody - t
ppn)
1,1968gdzie t
wody to oczywiście temperatura wody, a t
ppn oznacza temperaturę powietrza przed nagrzewnicą.
Poniższe tabele zawierają wartości rzeczywiste (kolor zielony - są to wartości zmierzone przez wooli'ego) oraz wartości wyliczone przy pomocy modeli (kolor niebieski). Kolumna z białym tłem zawiera różnicę pomiędzy wartością rzeczywistą i wartością obliczoną na podstawie modelu. W dolnych tabelach została obliczona moc, a w tabelach górnych to co jest najbardziej interesujące czyli temperatura powietrza za nagrzewnicą przewidywana przez model. Zgodnie z tym co pisałem model nr 1 jest dokładniejszy, bo jak widać maksymalny błąd z jakim została obliczona temperatura jest nie przekracza jednego stopnia. Model nr 2 jest mniej dokładny. Jednak nawet w tym przypadku błąd jest nie większy niż 2.1 C co według mnie jest zupełnie akceptowalne.
Proszę ponadto zwrócić uwagę, że błąd kalkulatora nr 1 jest naprawdę niewielki i z cała pewnością porównywalny z błędem pomiarowym tanich termometrów. Dlatego w opisanych warunkach jego stosowalności wyniki jego przewidywań są wiarygodne.
Teraz wykres charakterystyki mocy dla modelu nr 1, który jak już wspomniałem jest słuszny przy założeniach, że temperatura przed nagrzewnicą ma wartość w granicach 21-24 C oraz że temperatura wody w nagrzewnicy jest znacznie większa niż temperatura powietrza przed nagrzewnicą ( t
wody >> t
powietrza przed nagrzewnicą). Są to założenia wynikające z warunków, w których był przeprowadzony pomiar.
Widać, że punkty ładnie układają się na krzywej teoretycznej, a współczynnik korelacji jest na poziomie 0.99 - czyli wysoki. Z tego wniosek, że wooli naprawdę przyłożył się do pomiaru, który został przeprowadzony starannie.
Na koniec
wydruk do pliku pdf z arkusza, w którym przeprowadzałem obliczenia oraz sam arkusz.
Ten właśnie arkusz
można pobrać i pobawić się kalkulatorami zrobionymi na podstawie modeli. W tym celu do pól oznaczonych na żółto (jak na poniżej ilustracji) trzeba wpisać temperaturę wody na kotle oraz temperaturę powietrza przed nagrzewnicą. W polach opisanych jako T
wylot zostanie obliczona temperatura powietrza za nagrzewnicą. Przypomnę jeszcze, że kalkulator nr 1 podaje poprawne wyniki jeśli wartość temperatury powietrza przed nagrzewnicą będzie miała wartość w granicach 21-24 C. Kalkulator nr 2 jest tworem eksperymentalnym. Nie mając wyników pomiarów przeprowadzonych dla różnych temperatur powietrza przed nagrzewnicą zastosowałem sztuczkę, dzięki której teoretycznie powinien być bardziej uniwersalny i działać na szerszym zakresie temperatur. Na pewno zostało to okupione dokładnością obliczeń. Trudno jest mi określić na ile dobrze liczy temperaturę za nagrzewnicą gdy temperatura przed nagrzewnicą jest poza zakresem 21-24 C. Na pewno robi to lepiej niż kalkulator nr 1. Na ile lepiej - nie wiem.
Rozwiązanie z nagrzewnicą uznałem za naprawdę ciekawe i nowatorskie. Moc osiągana przez nagrzewnicę jest całkiem spora. Dlatego zdecydowałem, że warto opisać je matematycznie. Na przykład po to jeśli zechcę kiedyś sam coś takiego zrobić.
Kto wie? Może jeszcze ktoś się pokusi?
Czy coś można tu jeszcze policzyć? Oczywiście!
Na przykład jaki jest jego koszt w oparciu o kaloryczność węgla czy gazu (ukłon w stronę Marcina). Być może w najbliższym czasie.
Dorzucę jeszcze wykres zależności temperatury powietrza za nagrzewnicą od temperatury wody na kotle. Ponieważ jest oparty na modelu pierwszym to dot. to sytuacji gdy powietrze przed nagrzewnicą ma temperaturę około 21-24 C.
Autor
Wątek: Czyżby najtańsze dogrzewanie i najlepsza wentylacja w jednym? (Przeczytany 38696 razy)